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% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
\newmdtheoremenv[
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  linecolor=gray!10
]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{14.5 习题}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{14.5.1}

\begin{itemize}
  \item (a) 有界函数的有限和是有界的。

        成立；

        对有限和的个数$n$进行归纳。

        $n = 0$时，空虚的为真；

        $n = 1$时，$\sum\limits_{n=1}^1 f^{(n)} = f^{(1)}$，因为$f^{(1)}$是有界的，
        于是命题为真；

        归纳假设$n = k$时，$\sum\limits_{n=1}^k f^{(n)}$是有界的；

        $n = k + 1$时，
        \begin{align*}
          \sum\limits_{n=1}^{k + 1} f^{(n)} = \sum\limits_{n=1}^k f^{(n)} + f^{(k + 1)}
        \end{align*}
        由归纳假设可知$\sum\limits_{n=1}^k f^{(n)}$是有界的，又因为$f^{(k + 1)}$是有界的，
        于是存在$M, M^\prime > 0$，使得只要$x \in X$，都有
        \begin{align*}
          |\sum\limits_{n=1}^k f^{(n)} (x)| < M \\
          |f(x)| < M^\prime
        \end{align*}
        于是可得
        \begin{align*}
          |\sum\limits_{n=1}^{k + 1} f^{(n)}| \leq M + M^\prime
        \end{align*}
        综上可得，$\sum\limits_{n=1}^{k + 1} f^{(n)}$有界；

        归纳完成，命题成立。

  \item (b) 连续函数的有限和是连续的。

        成立；证明与(a)类似，略。

  \item (c) 一致连续函数的有限和是一致连续的。

        成立；证明与(a)类似，略。
\end{itemize}

\section*{14.5.2}
按照书中提示证明。

由题设可知，任意$n$都有$f^{(n)} \in C(X \to \mathbb{R})$，
由因为$\sum \limits_{n=1}^{\infty} ||f^{(n)}||_\infty$收敛，
于是可知$\sum \limits_{n=1}^{\infty} ||f^{(n)}||_\infty$是柯西序列，
对任意$\epsilon > 0$，存在$N \geq 1$，使得只要$p, q  \geq N, p \leq q$都有
\begin{align*}
   & \sum \limits_{n=1}^{q} ||f^{(n)}||_\infty - \sum \limits_{n=1}^{p} ||f^{(n)}||_\infty \\
   & = ||f^{(p)}||_\infty + ||f^{(p+1)}||_\infty + \cdots + ||f^{(q)}||_\infty             \\
   & < \epsilon
\end{align*}
又我们有
\begin{align*}
   & d_{B(X \to \mathbb{R})}(\sum \limits_{n=1}^{p} f^{(n)}, \sum \limits_{n=1}^{q} f^{(n)}) \\
   & = \sup \{|\sum \limits_{n=p+1}^{q} f^{(n)}(x)|: x \in X\}                               \\
   & \leq ||f^{(p)}||_\infty + ||f^{(p+1)}||_\infty + \cdots + ||f^{(q)}||_\infty            \\
   & < \epsilon
\end{align*}
于是可得，
部分和构成的序列$(\sum \limits_{n=1}^{N} f^{(n)})_{N = 1}^\infty$是$C(X \to \mathbb{R})$中的柯西序列，
利用定理14.4.5可知，$(\sum \limits_{n=1}^{N} f^{(n)})_{N = 1}^\infty$收敛于$C(X \to \mathbb{R})$中的一个函数$f$，
由命题14.4.4可知，$(\sum \limits_{n=1}^{N} f^{(n)})_{N = 1}^\infty$一致收敛于$f$，
所以，无限级数$\sum \limits_{n=1}^{\infty} f^{(n)}$一致收敛于$f$。

\end{document}